Question

如圖，已知平面四邊形中，為的中點，，，

且．將此平面四邊形沿折成直二面角，

連接，設中點為．

（1）證明：平面平面；

（2）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．

（3）求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）點存在，且為線段上靠近點的一個四等分點；（3）.

【解析】

試題分析：（1）分別證明，即可；（2）方法一：先以為原點，分別為軸，建立直角坐標系，寫出各點坐標，，，，為中點，故，設點，利用平面得，據此可解出；方法二：作交于，注意到，故與相似，因此，于是得；（3）方法一：由于，即為平面的法向量，，，要求直線與平面所成角的正弦值，記直線與平面所成角為，根據直線與面的夾角正弦正好等于直線與面的法向量的夾角余弦的絕對值，則知，故只需計算即可，利用余弦公式有，故；方法二：由于，所以可以轉而考慮與平面所成角，為此需要找到在平面內的投影，此投影與所成角即為線面夾角，然后求與平面所成角的正弦，于是在中作，而平面平面，由此平面，即為在平面內的投影，就等于直線與平面所成角， ，

在中，，，

故.

試題解析：（1）直二面角的平面角為，又，

則平面，所以．

又在平面四邊形中，由已知數據易得，而，

故平面，因為平面，所以平面平面 （4分）

（2）解法一：由（1）的分析易知，，則以為原點建立空間直角坐標系如圖所示．

 

結合已知數據可得，，，，

則中點.

平面，故可設，

則，

平面，，

又，

由此解得，即，

易知這樣的點存在，且為線段上靠近點的一個四等分點； （8分）

解法二：（略解）如圖所示，

 

在中作，交于，

因為平面平面，則有平面．

在中，結合已知數據，利用三角形相似等知識可以求得，

故知所求點存在，且為線段上靠近點的一個四等分點； ..（8分）

（3）解法一：由（2）是平面的一個法向量，又，

則得，所以，

記直線與平面所成角為，則知，

故所求角的正弦值為. ..（12分）

解法二：（略解）如上圖中，因為，所以直線與平面所成角等于直線與平面所成角，由此，在中作于，易證平面，

連接，則為直線與平面所成角，

結合題目數據可求得，故所求角的正弦值為. ..（12分）

考點：1、線面垂直、面面垂直的證法；2、線面角的求法；3、空間向量的應用.