Question

若f（x）是在（-l，l）內的可導奇函數，且f′（x）不恒為0，則f′（x）（　　）

A．必為（-l，l）內的奇函數

B．必為（-l，l）內的偶函數

C．必為（-l，l）內的非奇非偶函數

D．可能為奇函數也可能為偶函數

Answer 1

分析：證明f′（x）是（-1，1）內的偶函數即證f′（-x）=f′（x），而函數f（x）沒有解析式，故想到運用導數的定義進行證明．

解答：證明：對任意 x∈(-1，1)，f′(-x)=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=

lim

△x→0

f[-(x-△x)]-f(-x)

△x

由于f（x）為奇函數，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），
于是 f′（-x）=f′(-x)=

lim

△x→0

-f(x-△x)+f(x)

△x

=

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=f′(x)
因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-1，1）內的偶函數．
故選B．

點評：本題考查導數的定義以及函數奇偶性的判斷，關鍵是正確利用導數的定義，函數奇偶性的判斷方法．