Question

【題目】如圖，在四邊形中，，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.

（1）證明：平面；

（2）若為的中點(diǎn)，二面角等于60°，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；

（2）由題意知，，取的中點(diǎn)，連接，易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，求出向量，則向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為所求.

（1）證明：因?yàn)?/span>，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以.

又因?yàn)?/span>，

所以平面.

（2）因?yàn)?/span>，

所以是二面角的平面角，即，

在中，，

取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>,

所以,由（1）知，平面，為的中位線，

所以，即兩兩垂直，

以為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，則

，

，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則由得令，得，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.