Question

已知定義域為R的函數f(x)=

3x+b

3x+a

是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）討論函數y=f（x）的單調性；
（3）若對任意的t∈[-3，3]，不等式f（2t²+4t）+f（k-t²）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：此題考查的是函數的奇偶性和單調性問題．在解答時可以充分利用解析式的特點和性質．對（1）可以利用奇函數的定義將問題轉化為恒成立問題，利用對應系數相等獲得解答，也可一通過奇函數在原點有意義時，f（0）=0入手解答；
對（2）直接利用求導公式求導，分析導函數的特點即可獲得解答；
（3）可以首先將f（2t²+4t）+f（k-t²）＜0結合奇偶性轉化為f（2t²+4t）＜f（-k+t²），從而轉化出-k＞t²+4t再結合t的范圍即可獲得解答．

解答：解：方法一：
（1）由定義在R上的函數f(x)=

3x+b

3x+a

是奇函數得對一切x∈R，f（x）+f（-x）=0恒成立
即

3x+b

3x+a

+

3-x+b

3-x+a

=0 即

3x+b

3x+a

+

b•3x+1

1+a•3x

=0，
整理得（a+b）（3^x）²+（ab+1）3^x+a+b=0對任意x∈R恒成立，
故

a+b=0 ab+1=0

，解得

a=1 b=-1

或

a=-1 b=1

，
又因為函數的定義域為R，故a=1，b=-1．
方法二：由題意可知f（0）=0，即1+b=0，b=-1，此時f(x)=

3x-1

3x+a

，
又由f（1）+f（-1）=0得a=1，此時f(x)=

3x-1

3x+1

，經檢驗滿足f（-x）=-f（x）符合題意．
（2）由f(x)=

3x-1

3x+1

得f′(x)=

3xln3(3x+1)-(3x-1)3xln3

(3x+1)2

=

2•3xln3

(3x+1)2

＞0恒成立，
故函數y=f（x）在R上為增函數．
（3）函數y=f（x）為奇函數且在R上為增函數
由f（2t²+4t）+f（k-t²）＜0得f（2t²+4t）＜-f（k-t²）2t²+4t＜t²-k（12分）-k＞t²+4t=（t+2）²-4對一切x∈[-3，3]恒成立
所以-k＞{（t+2）²-4}_max，x∈[-3，3]，-k＞21，∴實數k的取值范圍是k＜-21．

點評：本題考查的是函數的奇偶性和單調性問題．在解答的過程當中充分體現了恒成立思想、求導的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會和反思．