Question

已知實系數方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根分別為一個橢圓和一個雙曲線的離心率，則

b

a

的取值范圍是

(-

1

2

，1)

．

Answer 1

分析：令f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，設橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂．
則0＜e₁＜1＜e₂．由已知e₁，e₂是方程f（x）=0的兩個零點．滿足

f(0)=1+a+b＞0 f(1)=3+2a+b＜0 - 1+a 2 ＞0

，
如圖所示，C（-2，1）．設b=ka，則-2＜k＜k_OC．

解答：解：令f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，設橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂．
則0＜e₁＜1＜e₂．
∵e₁，e₂是方程f（x）=0的兩個零點．則

f(0)=1+a+b＞0 f(1)=3+2a+b＜0 - 1+a 2 ＞0

，
如圖所示，C（-2，1），點A為可行域內一點．
設b=ka，∵k_OC=-

1

2

，-2＜k_OA＜k_OC．
∴

b

a

=k的取值范圍是(-2，-

1

2

)．
故答案為(-2，-

1

2

)．

點評：熟練掌握橢圓離心率的取值范圍、線性規劃的有關知識、斜率計算公式等是解題的關鍵．