Question

已知實(shí)系數(shù)方程x²+（m+1）x+m+n+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x₁，x₂，且0＜x₁＜1，x₂＞1，則u=

m2+n2

mn

的取值范圍是（　　）

• A．(-

  5

  2

  ，-2]
• B．（-∞，-2]
• C．(-

  5

  2

  ，-2)
• D．(-

  5

  2

  ，0)

Answer 1

分析：首先根據(jù)所給的一元二次方程的根的范圍，表示出m，n之間的關(guān)系，得到不等式組，畫出可行域，求出

n

m

的范圍，做出它的倒數(shù)的范圍，根據(jù)基本不等式表示出最大值，得到結(jié)果．

解答：解：令f（x）=x²+（m+1）x+m+n+1，
由題意0＜x₁＜1，x₂＞1，知，

f(0)＞0 f(1)＜0

即

m+n+1＞0 2m+n+3＜0

不等式組表示區(qū)域如圖陰影部分．

n

m

表示點(diǎn)P（m，n）與原點(diǎn)連線的斜率．
∴-2＜

n

m

＜-

1

2

，
-2＜

m

n

＜-

1

2

，
∵

m

n

與

n

m

的符號(hào)是負(fù)數(shù)，得到根據(jù)基本不等式知

m

n

+

n

m

≤-2
∵

m

n

與

n

m

取得最值的時(shí)候正好相反，即一個(gè)取得最大值時(shí)，另一個(gè)取得最小值，
∵u=

m2+n2

mn

=

n

m

+

m

n

∈(-

5

2

，-2]
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查基本不等式求最值，考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)所給的代數(shù)式變形整理，再根據(jù)線性規(guī)劃得到要用的范圍，本題是一個(gè)中檔題目．