Question

已知冪函數在（0，+∞）上是增函數，，
（1）當時，求g（θ）的值；
（2）求g（x）的最值以及g（x）取最值時x的取值集合．

Answer 1

解：（1）由冪函數的定義可得 n²-2n+1=1，n²-2＞0，故 n=2，f（x）=x²．
∵，∴=sinθ-2cosθ=0，∴tanθ=2．
∴g（θ）=（sinθ+cosθ）²+2cos²θ=1+2sinθcosθ+2cos²θ=1+=1+=1+=．…（6分）
（2）∵g（x）=1+2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x++1=2sin（2x+）++1．
故g（x）的最大值為3+，此時，2x+=2kπ+，x的取值集合為{x|x=kπ+，k∈z}．
g（x）的最小值為-1，此時，2x+=2kπ-，x的取值集合為{x|x=kπ-，k∈z}．
分析：（1）由冪函數的定義可得 n²-2n+1=1，n²-2＞0，由此求得 n的值，從而得到f（x）的解析式．由 ，求得tanθ=2，利用三角函數的恒等變換化簡g（θ）的解析式為1+，運算求得結果．
（2）由于g（x）=1+2sinxcosx+2cos²x，化簡為 2sin（2x+）++1，由此求得g（x）的最值以及此時x的取值集合．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，冪函數的定義，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．