Question

如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，2AB=BB₁，
過點B作B₁C的垂線交側棱CC₁于點E．
（1）求證：面A₁CB⊥平面BED；
（2）求A₁B與平面BDE所成的角的正弦值

Answer 1

【答案】分析：（1）建立坐標系，寫出兩個平面上要用的點的坐標，構造兩個向量，設出兩個平面的法向量，根據向量垂直的充要條件得到兩個平面的法向量，由于兩個平面的法向量數量積為0，得到結論．
（2）本題要求的是線面角，寫出線上的向量坐標，根據直線上的向量與平面的法向量所成的角的余弦的絕對值等于線面角的正弦值，得到結果．
解答：解：以D為原點，DA，DC，DD₁為坐標軸建立坐標系，設AB=1
由題意知A₁（1，0，2），C（0，1，0），B（1，1，0），E（0，1，），D（0，0，0）
∴=（-1，1，-2），=（-1，0，0），=（0，1，），=（1，1，0）
（1）設面A₁CB的法向量是=（x，y，z），平面BED的法向量是=（a，b，c）
根據法向量與平面的向量數量積是0
得到=（0，2，1），=（1，-1，2），
∴=0，
∴面A₁CB⊥平面BED．

（2）∵=（0，1，-2）
平面BED的法向量是=（1，-1，2），
設A₁B與平面BDE所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜，＞|=||=，
∴A₁B與平面BDE所成的角的正弦值為．
點評：本題是一個高考題型，空間向量與立體幾何是近幾年高考必考的內容，是一個送分題，題目的思維量不大，知識運算比較麻煩，同學們解題時要細心．