Question

已知函數(shù)y=sin²x+

3

2

sin2x+2cos²x，求
（1）函數(shù)的最小值；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

4

]，求y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換公式，化簡函數(shù)，即可求出函數(shù)f（x）的最小值；
（2）根據(jù)x∈[-

π

6

，

π

4

]，可得2x-

π

6

的范圍，從而可求sin（2x-

π

6

）的范圍，進(jìn)而可求函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（1）函數(shù)y=sin²x+

3

2

sin2x+2cos²x
=

3

2

sin2x+cos²x+1
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x-

π

6

）+

3

2

∴函數(shù)f（x）的最小值是

1

2

；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

3

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[-1，

3

2

]
∴函數(shù)在x∈[-

π

6

，

π

4

]上的最大值為

3+ 3

2

，最小值為

1

2

．
y的取值范圍[

1

2

，

3+ 3

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查整體思維的思想，屬于中檔題．