【題目】若項數為
的單調增數列
滿足：①
；②對任意
，存在
使得
；則稱數列具有性質
.
（1）分別判斷數列1，3，4，7和1，2，3，5是否具有性質，并說明理由；
（2）若數列具有性質，且
.
（i）證明數列的項數
；
（ii）求數列中所有項的和的最小值.
【答案】（1）數列1，3，4，7不具備性質P，數列1，2，3，5具有性質
；（2）（i）證明見解析，（ii）75
【解析】
（1）根據定義驗證即可得解；
（2）（i）根據數列關系分析
，結合
，即可得到
，即可得證；
（ii）構造數列：1,2,4,5,9,18,36，或1,2,3,6,9,18,36，再證明75是最小值.
（1）因為
，數列1，3，4，7不具備性質P，
，所以數列1，2，3，5具有性質；
（2）（i）證明：數列
單調遞增，具有性質，且
，
，
所以
，即
，所以，，
所以
，
所以
；
（ii）構造數列：1,2,4,5,9,18,36，或1,2,3,6,9,18,36，顯然這兩個數列滿足性質，
且數列之和均為75，下面說明75為數列中所有項的和的最小值，
若18在數列中，要求數列中的所有項的和最小，則
，
若18不在數列中，
，由（i）可知，
數列所有項之和
，
所以要使所有項之和最小，必有，
同理可得要使數列中所有項的和最小，必有
，
，
同理可得：
或5，
依次類推，要使數列中的所有項的和最小，該數列為1,2,4,5,9,18,36，或1,2,3,6,9,18,36，
綜上所述：數列中所有項的和的最小值為75.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
：
的圓心為，圓
：
的圓心為，一動圓與圓內切，與圓外切.
(1)求動圓圓心
的軌跡方程；
(2)過點
的直線
與曲線交于
，
兩點，點
是直線
上任意點，直線
，
，
的斜率分別為
，
，
，試探求，，的關系，并給出證明.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知橢圓
的左焦點為
，點
在橢圓
上.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知圓
，連接
并延長交圓
于點
為橢圓長軸上一點（異于左、右焦點），過點
作橢圓長軸的垂線分別交橢圓和圓于點
（均在
軸上方）.連接
，記
的斜率為
，
的斜率為
.
①求
的值；
②求證：直線的交點在定直線上.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某區“創文明城區”
簡稱“創城”
活動中，教委對本區A，B，C，D四所高中校按各校人數分層抽樣調查，將調查情況進行整理后制成如表：
學校 | A | B | C | D |
抽查人數 | 50 | 15 | 10 | 25 |
“創城”活動中參與的人數 | 40 | 10 | 9 | 15 |
注：參與率是指：一所學校“創城”活動中參與的人數與被抽查人數的比值
假設每名高中學生是否參與“創城”活動是相互獨立的．
Ⅰ若該區共2000名高中學生，估計A學校參與“創城”活動的人數；
Ⅱ在隨機抽查的100名高中學生中，從A，C兩學校抽出的高中學生中各隨機抽取1名學生，求恰有1人參與“創城”活動的概率；
Ⅲ若將表中的參與率視為概率，從A學校高中學生中隨機抽取3人，求這3人參與“創城”活動人數的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某超市從
年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數據中分別隨機抽取
個，并按
、
、
、
、
分組，得到頻率分布直方圖如圖，假設甲、乙兩種酸奶獨立銷售且日銷售量相互獨立.
（1）寫出頻率分布直方圖甲中的
的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為
、
，試比較與的大小；（只需寫出結論）
（2）估計在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于
箱且另一個不高于箱的概率；
（3）設
表示在未來
天內甲種酸奶的日銷售量不高于箱的天數，以日留住量落入各組的頻率為概率，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，雙曲線
的右頂點為A，右焦點為F，點B在雙曲線的右支上，矩形OFBD與矩形AEGF相似，且矩形OFBD與矩形AEGF的面積之比為2：1，則該雙曲線的離心率為
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
〔
＞b＞0〕與拋物線
有共同的焦點F，且兩曲線在第一象限的交點為M，滿足
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
，斜率為
的直線
與橢圓交于
兩點，設
，假設
，求的取值范圍.
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