Question

如圖1，直角梯形中，，，，點為線段上異于的點，且，沿將面折起，使平面平面，如圖2.
（1）求證：平面；
（2）當三棱錐體積最大時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題考查立體幾何中的線面、面面關系，空間角，空間向量在立體幾何中的應用等基礎知識；考查運算求解能力、空間想象能力；考查數形結合思想、化歸與轉化等數學思想．第一問，法一，由，利用線面平行的判定得面，再利用面面平行的判定得面面，最后利用面面平行的性質得面；法二，建立空間直角坐標系，要證明線面平行，只需證AB與面DFC的法向量垂直即可；第二問，建立空間直角坐標系，利用三棱錐的體積公式計算體積，當體積最大值時，AE=1，再利用向量法求平面ABC和平面AEFD的法向量，利用夾角公式求二面角的余弦值.
試題解析：（1）證明：∵，面，面，
∴面，　　　　　　　　　　                   2分
同理面，                                    3分
又，∴面面，                4分
又面，∴面.                      5分
（2）法一：∵面面，又，面面，
∴面.
以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立
空間直角坐標系，            　              7分
設，則，
，
∴當時，三棱錐體積最大.                9分
∵， ∴，         10分
設平面的法向量， ，　∴，
令，得平面的一個法向量，           11分
又面的一個法向量為，
∴，                    12分　
∴平面與平面所成銳二面角的余弦是 .            13分
法二：∵面面，又，面面，
∴面
以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直
角坐標系．                                           2分
設，則.  
（1），              3分
面的一個法向量為，                       4分
，∴，又面，
∴面.                                          7分
（2）同法一．