Question

某商場以100元/件的價格購進一批襯衣,以高于進價的價格出售,銷售有淡季與旺季之分.通過市場調查發現:

①銷售量r(x)(件)與襯衣標價x(元/件)在銷售旺季近似地符合函數關系:r(x)=kx+b₁;在銷售淡季近似地符合函數關系:r(x)=kx+b₂,其中k＜0,b₁、b₂＞0且k、b₁、b₂為常數;

②在銷售旺季，商場以140元/件的價格銷售能獲得最大銷售利潤;

③若稱①中r(x)=0時的標價x為襯衣的“臨界價格”，則銷售旺季的“臨界價格”是銷售淡季的“臨界價格”的1.5倍.

請根據上述信息,完成下面問題:

(1)填出表格中空格的內容;

數量 關系 銷售 季節	標價(元/件)	銷售量r(x)(件) (含k、b1或b2)	不同季節的銷售總利潤y(元) 與標價x(元/件)的函數關系式
旺季	x	r(x)=kx+b1
淡季	x

(2)在銷售淡季，該商場要獲得最大銷售利潤，襯衣的標價應定為多少元才合適？

Answer 1

解：(1)

數量關系 銷售季節	標價(元/件)	銷售量r(x)(件)(含k、b1或b2)	不同季節的銷售總利潤y(元)與標價x(元/件)的函數關系式
旺季	x	r(x)=kx+b1	y=kx2-(100k-b1)x-100b1
淡季	x	r(x)=kx+b2	y=kx2-(100k-b2)x-100b2

 (2)在(1)的表達式中,由k＜0可知,在銷售旺季,當x=時,利潤y取最大值;

在銷售淡季,當x=時,利潤y取最大值.

下面分銷售旺季和銷售淡季進行討論:

由②知,在銷售旺季,商場以140元/件價格出售時,能獲得最大利潤.因此在銷售旺季,當標價x==140時,利潤y取最大值.此時b₁=-180k,銷售量為r(x)=kx-180k.由kx-180k=0,知在銷售旺季,襯衣的“臨界價格”為180元/件.

∴由③知,在銷售淡季,襯衣的“臨界價格”為120元/件.可見在銷售淡季,當標價x=120元/件時，銷售量為r(x)=kx+b₂=0.此時，b₂=-120k.∴在銷售淡季，當標價x==110元/件時,利潤y取得最大值.故在銷售淡季，商場要獲得最大利潤，應將襯衣的標價定為110元/件合適.