Question

（本小題滿分14分）已知函數.

(Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；

(Ⅱ)求的單調區間；

(Ⅲ)設，若對任意，均存在，使得，求

的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.  

（Ⅱ）的單調遞增區間是和，單調遞減區間是. 

（Ⅲ）. 

【解析】(I)先求導，利用,建立關于a的方程，從而求出a值.

(II) ,然后再根據a的取值范圍進行討論，確定其單調區間.

（III）本小題的實質是在上有,然后分別研究f(x)和g(x)的最大值即可.

.                     ………………2分

（Ⅰ），解得.                             ………3分

（Ⅱ）.                      ……5分

①當時，，，

在區間上，；在區間上，

故的單調遞增區間是，單調遞減區間是.     ………6分

②當時，，

在區間和上，；在區間上，

故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.  …………7分

③當時，， 故的單調遞增區間是.  ………8分

④當時，，

在區間和上，；在區間上，

故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.   ………9分

（Ⅲ）由已知，在上有.               ………………10分

由已知，，由（Ⅱ）可知，

①當時，在上單調遞增，

故，

所以，，解得，故. ……………11分

②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

故.

由可知，，，

所以，，，                        ………………13分

綜上所述，.                                     ………………14分