Question

（14分）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且公比不等于1，數(shù)列對(duì)任意正整數(shù)n，均有： 

成立，又。

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；

（Ⅱ）在數(shù)列中依次取出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，……，第項(xiàng)，……，組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，比較與的大小。

Answer 1

解析：（I）設(shè)公比為 ……………………2分 

代入

得

即

∵，∴，∴

∴是等差數(shù)列   ……………………4分 

=2   ∴   …………6分 

（Ⅱ）

   ……………………8分 

（3）

時(shí)，時(shí)，

猜測(cè)時(shí)，   ……………………10分 

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下

（1）時(shí)，（已證）

（2）假設(shè)時(shí)不等式成立，即 ……………………12分 

時(shí)，

又

∴

即時(shí)，不等式成立。

由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)， ……………14分