Question

（2013•湛江一模）設函數f（x）=x（e^x-2）-ax²（x≥0），其中e是自然對數的底，a為實數．
（1）若a=1，求f（x）的單調區間；
（2）當a≠1時，f（x）≥-x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數的正負，可得f（x）的單調區間；
（2）當a≠1時，f（x）≥-x恒成立，等價于x（e^x-1-ax）≥0，構造新函數，分類討論，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x（e^x-2）-x²（x≥0），
∴f′（x）=（e^x-2）（x+1），
∵x≥0，∴x+1≥1＞0
令f′（x）＞0，可得x∈（ln2，+∞），f′（x）0，可得x∈[0，ln2）
∴函數的單調遞減區間是[0，ln2），單調遞增區間是（ln2，+∞），
（2）當a≠1時，f（x）≥-x恒成立，等價于x（e^x-1-ax）≥0
設g（x）=e^x-1-ax，則g′（x）=e^x-a
∵x≥0，∴e^x≥1
①a＞1時，由g′（x）＞0解得x＞lna
∴x∈[0，lna）時，g（x）為減函數，當x∈[lna，+∞）時，g（x）為增函數
∵g（0）=0，
∴x∈[0，lna）時，g（x）＜0
∵x＞0，∴xg（x）＜0，即x（e^x-1-ax）＜0
∴f（x）＜-x，∴結論不成立
②當a＜1時，g′（x）＞0，g（x）為增函數，而g（0）=0
∴g（x）≥0，∴f（x）≥-x恒成立
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，1）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，確定函數的單調性是關鍵．