Question

若直角坐標平面內(nèi)A、B兩點滿足：①點A、B都在函數(shù)f（x）的圖象上；②點A、B關(guān)于原點對稱，則點對（A，B）是函數(shù)f（x）的一個“姊妹點對”．點對（A，B）與（B，A）可看作是同一個“姊妹點對”，已知函數(shù)f（x）=

x2+2x(x＜0) x+1 ex (x≥0)

，則f（x）的“姊妹點對”有 （　�。�

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：計算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：由題意可設點A（x，y）（x＜0）在f（x）的圖象上，從而可得

y=x2+2x -y= -x+1 e-x

，從而可得方程x²+2x+

1-x

e-x

=0，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²+2x+（1-x）e^x，求導確定函數(shù)的大致單調(diào)性，從而由函數(shù)零點的判定定理確定個數(shù)即可．

解答： 解：設點A（x，y）（x＜0）在f（x）的圖象上，
則點B（-x，-y）也在f（x）的圖象上；
故

y=x2+2x -y= -x+1 e-x

；
故x²+2x+

1-x

e-x

=0，
令g（x）=x²+2x+

1-x

e-x

=x²+2x+（1-x）e^x，
g′（x）=2x+2-xe^x，
故可知g（x）在（-∞，0）上先減后增，
且g（-2）=

3

e2

＞0，g（-1）=

2

e

-1＜0，g（0）=1；
且g（x）在（-∞，0）上連續(xù)，
故x²+2x+

1-x

e-x

=0在（-∞，0）上有兩個解，
故f（x）的“姊妹點對”有2個；
故選：C．

點評：本題考查了學生對新定義的接受能力及導數(shù)的綜合應用，同時考查了零點個數(shù)的判斷，屬于中檔題．