Question

已知f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）（a＞0，a≠1）．
（1）判斷f（x）與g（x）圖象的位置關系；
（2）當0＜a＜1時，比較|f（x）|與|g（x）|的大小；
（3）討論關于x的方程ag(-x2+x+1)=af(k)-x的實根的個數．

Answer 1

分析：（1）由題設知g（x）=f（-x）．所以f（x）與g（x）的圖象關于y軸對稱．
（2）[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）+g（x）][f（x）-g（x）]=loga(1-x2)•loga

1-x

1+x

，由此根據x的取值范圍進行分類討論，能比較|f（x）|與|g（x）|的大小．
（3）ag(-x2+x+1)=af(k)-x，f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）等價于

-x2+x+2=1-k-x -x2+x+2＞0 1-k＞0

，由此能求出關于x的方程ag(-x2+x+1)=af(k)-x實根的個數．

解答：解：（1）∵f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）（a＞0，a≠1），
∴g（x）=f（-x）．
∴f（x）與g（x）的圖象關于y軸對稱．
（2）[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）+g（x）][f（x）-g（x）]=loga(1-x2)•loga

1-x

1+x

，
∵-1＜x＜1，∴0＜1-x²＜1，
∵0＜a＜1，∴loga(1-x2)＞0，
當-1＜x＜0時，

1-x

1+x

＞1，∴loga

1-x

1+x

＜0，∴|f（x）|＜|g（x）|；
當x=0時，loga

1-x

1+x

=0，|f（x）|=|g（x）|；
當0＜x＜1時，0＜

1-x

1+x

＜1，loga

1-x

1+x

＞0，∴|f（x）|＞|g（x）|．
（3）∵ag(-x2+x+1)=af(k)-x，f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），
∴ag(-x2+x+2)=aloga1-k-x等價于

-x2+x+2=1-k-x -x2+x+2＞0 1-k＞0

，
∴k＜1，-1＜x＜2，k=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2．

∴k＜-2時，關于x的方程ag(-x2+x+1)=af(k)-x無解，實根的個數為0個；
-1≤k＜1，或k=-2時，關于x的方程ag(-x2+x+1)=af(k)-x的實根的個數為1個；
-2＜k＜-1時，關于x的方程ag(-x2+x+1)=af(k)-x的實根的個數為2個．

點評：本題考查兩個函數的圖象的位置關系的判斷，考查兩個函數的絕對值的大小的比較，考查函數的根的個數的判斷．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論法和等價轉化法的合理運用．