Question

如圖所示，在平面四邊形OMPN中，∠OMP=∠ONP=

π

2

，∠MON=

2π

3

，PM=3，PN=4，則OP=

 

．

Answer 1

分析：由四邊形內(nèi)角和定理求出∠MPN的度數(shù)，再由PM與PN的長(zhǎng)，利用余弦定理求出MN的長(zhǎng)，根據(jù)O，M，P，N四點(diǎn)共圓，利用正弦定理求出直徑OP的長(zhǎng)即可．

解答：解：由四邊形內(nèi)角和為2π，得到∠MPN=

π

3

，
在△MNP中，PM=3，PN=4，
∴由余弦定理可得MN²=PM²+PN²-2PM•PNcos∠MPN=9+16-12=13，
∴MN=

13

，
又O、M、P、N四點(diǎn)共圓，
∴利用正弦定理得：OP=2R=

MN

sin∠MPN

=

13

3 2

=

2 39

3

．
故答案為：

2 39

3

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．