Question

（2010•溫州一模）已知函數f（x）=

a

2

x2-lnx，
（I） 若a=1，證明f（x）沒有零點；
（II）若f（x）≥

1

2

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將a=1代入函數，得f（x）=

1

2

x2-lnx，再利用導數討論f（x）的單調性，可得f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．從而得到f（x）的最小值為f（1）是一個正數，最終得出f（x）在（0，+∞）上沒有零點；
（II）因為x²＞0，所以原不等式可以變形為a≥

1+2lnx

x2

恒成立，說明a大于右邊式子的最大值．記右邊的式子為
F（x），同樣用導數討論F（x）的單調性，可得F（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，從而得出
F（x）_max=F（1）=1．最后可以得出a的取值范圍是[1，+∞）．

解答：解：（I）a=1時，f（x）=

1

2

x2-lnx，其中x＞0
求導數得f/(x)=x-

1

x

  …（3分）
由  f′（x）=0 得x=1
當f′（x）＜0時，0＜x＜1；當f′（x）＞0時，x＞1
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增…（5分）
故f（x）的最小值f_min（x）=f（1）=

1

2

＞0，所以f（x）沒有零點…（7分）
（II）由f（x）≥

1

2

恒成立，得a≥

1+2lnx

x2

恒成立…．（9分）
記右邊F(x)=

1+2lnx

x2

，（x＞0）
則F /(x)=

2 x •x2 -(1+2lnx)•2x

x4

=

-4lnx

x3

  …．（11分）
若F′（x）=0得x=1．
當F′（x）＞0時，0＜x＜1；當F′（x）＜0時，x＞1
∴F（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減
故F（x）的最大值為F（1）=1…．（13分）
所以a≥F（x）恒成立，等價于a≥1 
因此實數a的取值范圍是[1，+∞）…．（15分）

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、利用導數求閉區間上函數的最值以及不等式恒成立等知識點，屬于中檔題．