Question

19、已知二次函數f（x）=（a+1）x²+（a²-1）x+1（a為常數）是R上的偶函數．
（1）求出a的值．
（2）若x∈[-1，2]，求f（x）的取值范圍．
（3）若x滿足方程f（x）=x，則稱x為函數f（x）的不動點．求證函數f（x）沒有不動點．（寫出完整解題過程）

Answer 1

分析：（1）根據偶函數的定義f（-x）=f（x）對任意x∈R都成立，結合f（x）=（a+1）x²+（a²-1）x+1，易構造一個關于a的方程，解方程即可得到a的值．
（2）由（1）的結論，我們可以得到函數f（x）的解析式，根據二次函數的性質，易求出函數的最小值，進而得到f（x）的取值范圍．
（3）根據（2）中函數f（x）的解析式，根據方程f（x）=x無實根，可得函數f（x）沒有不動點．

解答：解：（1）因為 f（x）是R上的偶函數
所以f（-x）=f（x）對任意x∈R都成立          …（1分）
即（a+1）x²-（a²-1）x+1=（a+1）x²+（a²-1）x+1
得2（a²-1）x=0對任意x∈R都成立
所以有a²-1=0，解得a=±1…（2分）
又因為f（x）是二次函數
所以a+1≠0，即a≠-1
綜上可得a=1…（2分）
（2）由（1）知f（x）=2x²+1，可得f（x）在區間[-1，0]上單調遞減，在區間[0，2]上單調遞增．        …（1分）
所以當x=0時，f（x）最小，f（0）=1
所以當x=2時，f（x）最大，f（2）=9…（3分）
所以f（x）的值域為[1，9]…（1分）
（3）若f（x）=x，則有2x²+1=x
得2x²-x+1=0…（2分）△=1-8=-7＜0所以方程無解                …（1分）
所以函數f（x）無不動點                        …（1分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，二次方程根的存在性及個數的判斷，函數奇偶性的性質，其中根據偶函數的定義，構造關于a的方程，求出函數解析式是解答本題的關鍵．