Question

數列{a_n}前n項和為S_n，已知a1=

1

3

，且對任意正整數m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，若S_n＜a恒成立則實數a的最小值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

分析：由a_m+n=a_m•a_n，分別令m和n等于1和1或2和1，由a₁求出數列的各項，發現此數列是首項和公比都為

1

3

的等比數列，利用等比數列的前n項和的公式表示出S_n，而S_n＜a恒成立即n趨于正無窮時，求出S_n的極限小于等于a，求出極限列出關于a的不等式，即可得到a的最小值．

解答：解：令m=1，n=1，得到a₂=a₁²=

1

9

，同理令m=2，n=1，得到a₃=

1

27

，…
所以此數列是首項為

1

3

，公比也為

1

3

的等比數列，則S_n=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

（1-

1

3n

），
S_n＜a恒成立即n→+∞時，S_n的極限≤a，所以a≥

lim

n→+∞

1

2

（1-

1

3n

）=

1

2

，
則a的最小值為

1

2

．
故選A

點評：此題考查了等比數列關系的確定，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，靈活運用等比數列的前n項和的公式及會進行極限的運算，是一道綜合題．