Question

（1）求函數(shù)f（x）=e^x在x=0處的切線方程．
（2）x∈R，證明不等式e^x≥x+1．

Answer 1

解：（1）f′（x）=e^x，k=f′（0）=1，
所以切線方程為y=x+1；
（2）設g（x）=e^x-x-1，則g′（x）=e^x-1，
由g′（x）＞0得x＞0，由g′（x）＜0得x＜0，
所以g（x）在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，
所以在x=0處g（x）取得極小值，也為最小值，即g（x）≥g（0）=0，
所以e^x≥x+1．
分析：（1）斜率k=f′（0），利用點斜式即可求得切線方程；
（2）令g（x）=e^x-x-1，只需用導數(shù)證明g（x）_min≥0．
點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程及函數(shù)的最值問題，考查函數(shù)恒成立問題，函數(shù)恒成立往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．