Question

已知等比數列{b_n}，公比q＞0，b₃=8，前n項和T_n滿足T₃=14，且數列{a_n}滿足a_n+1-2log₂b_n=0（n∈N^*）
（1）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）數列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題意可得關于數列{b_n}的首項、公比的方程組，解出可得b_n，再代入已知等式可得a_n；
（2）先由（1）可得c_n，然后利用錯位相減法可求得S_n．

解答：解：（1）設數列{b_n}的首項b₁，由題意得，

b3=b1q2=8 T3= b1(1-q3) 1-q =14

，
解方程組得：q=2，b₁=2，
∴bn=2n，a_n=2log₂b_n-1=2n-1；
（2）由（1）cn=anbn=(2n-1)•2n，
∴Sn=1×21+3×22+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)2n，
則2Sn=1×22+3×23+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1，
兩式相減得，-Sn=2+2×22+…+2×2n-(2n-1)2n+1=2×（2+2²+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹-2=-（2n-3）•2ⁿ⁺¹-6，
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6．

點評：本題考查等差等比數列的通項公式、錯位相減法對數列求和，考查學生的運算求解能力，熟記相關問題的基本方法是解決問題的關鍵．