Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（Ⅰ）設b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），證明{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若a₃是a₆與a₉的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n∈N^*，a_n是a_n+3與a_n+6的等差中項．

Answer 1

分析：（Ⅰ）整理a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1得a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1）代入b_n中進而可證明{b_n}是等比數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可分別求得a₂-a₁，a₃-a₂，…a_n-a_n-1，將以上各式相加，答案可得．
（Ⅲ）由（Ⅱ），當q=1時，顯然a₃不是a₆與a₉的等差中項，判斷q≠1．根據a₃是a₆與a₉的等差中項，求得q．用q分別表示出a_n，a_n+3與a_n+6進而根據等差中項的性質可得結論．

解答：解：（Ⅰ）證明：由題設a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2），得a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），即b_n=qb_n-1，n≥2．
又b₁=a₂-a₁=1，q≠0，所以{b_n}是首項為1，公比為q的等比數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）a₂-a₁=1，a₃-a₂=q，
…
a_n-a_n-1=q^n-2，（n≥2）．
將以上各式相加，得a_n-a₁=1+q+…+q^n-2（n≥2）．
所以當n≥2時，an=

1+ 1-qn-1 1-q ，q≠1 n，q=1

上式對n=1顯然成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ），當q=1時，顯然a₃不是a₆與a₉的等差中項，故q≠1．
由a₃-a₆=a₉-a₃可得q⁵-q²=q²-q⁸，由q≠0得q³-1=1-q⁶，①
整理得（q³）²+q³-2=0，解得q³=-2或q³=1（舍去）．于是q=-

3	2

．
另一方面，an-an+3=

qn+2-qn-1

1-q

=

qn-1

1-q

(q3-1)，an+6-an=

qn-1-qn+5

1-q

=

qn-1

1-q

(1-q6)．
由①可得a_n-a_n+3=a_n+6-a_n，n∈N^*．
所以對任意的n∈N^*，a_n是a_n+3與a_n+6的等差中項．

點評：本小題主要考查等差數列、等比數列的概念、等比數列的通項公式及前n項和公式，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．