Question

在y=2^x，y=log2x，y=x2，y=cos2x這四個函數(shù)中，當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立的函數(shù)的個數(shù)是（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）只有在區(qū)間（0，1）上的函數(shù)圖象是上凸型的，才能滿足f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，由于函數(shù)y=2^x、y=x²、y=cos2x 區(qū)間（0，1）上的圖象是下凹型的，只有y=log₂x在區(qū)間（0，1）上的圖象是上凸型的，從而得出結(jié)論．

解答：解：函數(shù)f（x）只有在區(qū)間（0，1）上的函數(shù)圖象是上凸型的，才能滿足f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，
由于函數(shù)y=2^x在區(qū)間（0，1）上的圖象是下凹型的，故不滿足條件．
由于y=log₂x在區(qū)間（0，1）上的圖象是上凸型的，故滿足條件．
由于函數(shù) y=x²在區(qū)間（0，1）上的圖象是下凹型的，故不滿足條件．
由于函數(shù) y=cos2x 在區(qū)間（0，1）上的圖象是下凹型的，故不滿足條件．
故選B．

點評：本題主要考查函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．