Question

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），左頂點為．
（1）求雙曲線C的方程
（2）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A（0，-1），求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設雙曲線的標準方程，依題意可知a和c，進而根據a²+b²=c²求得b，則雙曲線方程可得．
（2）把直線方程與雙曲線方程聯立，消去y，利用判別式大于0求得m和k的不等式關系，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為B（x，y）．根據韋達定理表示出x和y，根據AB⊥MN，可知AB的斜率為-，進而求得k和m的關系，最后綜合可求得m的范圍．
解答：解：（I）設雙曲線方程為
由已知得
故雙曲線C的方程為．
（II）聯立
整理得（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0．
∵直線與雙曲線有兩個不同的交點，
∴
可得m²＞3k²-1．①
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為B（x，y）．


整理得3k²=4m+1．②
將②代入①，得m²-4m＞0，∴m＜0或m＞4．
又3k²=4m+1＞0（k≠0），即m＞-．
∴m的取值范圍是（-，0）∪（4，+∞）．
點評：本題主要考查了雙曲線的應用．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．