Question

（08年龍巖一中沖刺文）（分）已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，右準線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點F₂的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點，R是弦PQ的中點.

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動點，且2|AB|=|F₁F₂|，求線段AB的中點M的跡方程，并說明該軌跡是什么曲線。

   （3）若在雙曲線右準線L的左側能作出直線m:x=a，使點R在直線m上的射影S滿足，當點P在曲線C上運動時，求a的取值范圍.

Answer 1

解析：（1）設雙曲線C的方程為，

則它的右準線方程為

已知得=1，則=1，所以所求雙曲線C的方程是………………4分

（2）設A（x₁,x₂）、B（x₁、x₂）、M（x,y）

則

因為雙曲線C的近線方程為

所以

故

又2|AB|=所以|AB|=

即             ………………7分

即

即 所以………………7分

所以點M的軌跡中心在原點，焦點在y軸上，長軸長為6，短軸長為2的橢圓

（3）因為點R在直線m上的射影S滿足

所以PS⊥QS，即△PSQ是直角三角形.

所以點R到直線m:x=的距離為|RS|=

即……………………①

又………………9分

所以|PQ|=|PF₂|+|F₂Q|=2（x_P+x_Q－1）=4x_R－2……………………②

將②代入①，得………………10分

又P、Q是過右焦點F₂的一條弦，且P、Q均在雙曲線C的右支上，R是弦PQ的中點.所以 

故所求a的取值范圍是a≤－1. ………………12分