Question

例1．在△ABC內，求一點P，使

AP2

+

BP2

+

CP2

最小．

Answer 1

分析：根據已知條件，可構設兩個已知的基本向量

CA

=

a

，

CB

=

b

，再把AP²+BP²+CP²表示成關于變化向量

CP

=

x

的函數，最后，求出該函數的最小值．

解答：解：如圖，設

CA

=

a

，

CB

=

b

，

CP

=

x

，則

AP

=

x

-

a

，

BP

=

x

-

b

，∴AP²+BP²+CP²=|

x

-

a

|²+|

x

-

b

|²+

x

²=3

x

²-2（

a

+

b

）•

x

+

a

²+

b

²
=3[

x

-

1

3

（

a

+

b

）]²+

a

²+

b

²-

1

3

（

a

+

b

）²
根據向量運算的意義，知

x

=

1

3

（

a

+

b

）時，AP²+BP²+CP²有最小值．設M為AB的中點，易知

a

+

b

=2

CM

，當

x

=

1

3

（

a

+

b

）時，

CP

=

2

3

CM

，也即P為△ABC的重心時，AP²+BP²+CP²的值最小．

點評：本題主要考查向量的數量積運算．屬中檔題．