Question

已知函數f（x）=2lnx-ax+a（a∈R）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，證明：當0＜x₁＜x₂時，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2(

1

x1

-1)．

Answer 1

分析：（I）利用導數的運算法則可得f′（x），對a分類討論即可得出其單調性；
（II）通過對a分類討論，得到當a=2，滿足條件且lnx≤x-1（當且僅當x=1時取“=”）．利用此結論即可證明．

解答：解：（Ⅰ）求導得f′（x）=

2-ax

x

，x＞0．
若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增；
若a＞0，當x∈（0，

2

a

）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（

2

a

，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上遞增，
又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．
若a＞2，當x∈（

2

a

，1）時，f（x）遞減，f（x）＞f（1）=0，不合題意．
若0＜a＜2，當x∈（1，

2

a

）時，f（x）遞增，f（x）＞f（1）=0，不合題意．
若a=2，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
f（x）≤f（1）=0，合題意．
故a=2，且lnx≤x-1（當且僅當x=1時取“=”）．
當0＜x₁＜x₂時，f（x₂）-f（x₁）=2ln

x2

x1

-2（x₂-x₁）+2
＜2（x

x2

x1

-1）-2（x₂-x₁）+2
=2（

1

x1

-1）（x₂-x₁），
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2（1

1

x1

-1）．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值、等價轉化、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．