Question

如圖，正三棱柱ABC―A₁B_lC_l的底面邊長是2，側棱長是，D是AC的中點．

(1)求證：B₁C//平面A₁BD；

(2)求二面角A₁一BD―A的大小；

(3)求異面直線AB₁與BD之間的距離．

Answer 1

解：(1)連接A₁B，與AB₁相交于點P，連接PD

    ∵D為AC的中點，∴DP//B₁C．

    又∵PDC平面A₁BD，∴B₁C∥平面A₁BD．

    (2)∵三棱柱一A₁B₁C₁是正三棱柱，

    ∴AA₁上底面ABC，又∵BD⊥AC，∴A₁D⊥BD

    ∴∠A₁DA就是二面角A₁一BD―A的平面角，

    ∴A₁A=，AD=AC=1，

    ∴tan∠A₁DA=，

    ∴∠A₁DA=．

    即二面角A₁一BD―A的大小為．

    (3)取A₁C₁的中點D₁，連接B₁D₁，∵BD//B₁D₁

    ∴BD//平面AB₁D₁，所以AB₁與BD的距離轉化

    為BD與平面AB₁D₁間的距離，即轉化為點D與平面AB₁D₁間的距離．

    ∵

    又=，

    =，

    ∴，即

所以異面直線AB₁與BD之間的距離為。