Question

已知a，b為正實數，函數f（x）=ax³+bx+2^x在[0，1]上的最大值為4，則f（x）在[-1，0]上的最小值為（　　）

• A、-

  3

  2

• B、

  3

  2

• C、-2
• D、2

Answer 1

分析：先求導函數f'（x），再分別判斷函數f（x）在區(qū)間[0，1]和[-1，0]上的單調性，從而求出最大值（含a，b的式子），求出最小值（含a，b的式子），最后將a+b整體代入即得結果．

解答：解：因為a，b為正實數，函數f（x）=ax³+bx+2^x，
所以導函數f'（x）=3ax²+b+2^xln2，
因為a，b為正實數，
所以當0≤x≤1時，3ax²≥0，2^xln2＞0，
所以f'（x）＞0，即f（x）在[0，1]上是增函數，
所以f（1）最大且為a+b+2=4⇒a+b=2①；
又當-1≤x≤0時，3ax²≥0，2^xln2＞0，
所以f'（x）＞0，
即f（x）在[-1，0]上是增函數，
所以f（-1）最小且為-（a+b）+

1

2

②，
將①代入②得f（-1）=-2+

1

2

=-

3

2

．
故選A

點評：本題運用導數證明了函數的單調性，求出了最大值和最小值，這是求函數最值的一個重要方法--導數法，有時也可根據同一區(qū)間上增函數加增函數還是增函數，減函數加減函數還是減函數這一性質．本題屬于基礎題．