Question

已知點O是正方形ABCD兩對角線的交點，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE.

（1）求證：EO⊥平面AFC.

（2）在線段EF上找一點M，使三棱錐M—ACF為正三棱錐.

（3）試問在線段DF(不含端點)上是否存在一點R,使得CR∥平面ABF?若存在,請指出點R的位置；若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1)證明:連結FO.設AB=BF=2DE=2a,

則DO=OB=a,所以EO=a,FO=a,EF=3a.

在△EOF中,由EO²+FO²=EF²,知EO⊥FO.

又DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC,而BD⊥AC,

所以AC⊥平面DOE,故AC⊥EO.

由AC面AFC,FO面AFC，AC∩FO=O,所以EO⊥平面AFC.

(2)解：在線段EF上取點M，使得EM∶MF=1∶2，此時

三棱錐M—ACF為正三棱錐.

因為AF=FC=AC=22a,所以△AFC是正三角形.

在線段OF上取點G,使得OG∶GF=1∶2,則點G是△AFC的重心,也就是△AFC的中心.

連結MG,則MG∥EO.由(1)得MG⊥平面AFC

故此時三棱錐M—ACF為正三棱錐.

(3)解:找不到這樣的點R,使得CR∥平面ABF.

假設存在這樣的點R,使得CR∥平面ABF.

因為點R與點D不重合,所以CD與CR相交.

又CD∥平面ABF,CR∥平面ABF,且CR平面ABF,CD平面ABF,所以平面CDF∥平面ABF.

而平面CDF與平面ABF有公共點F,所以平面CDF與平面ABF必定相交,矛盾.

所以找不到這樣的點R,使得CR∥平面ABF.