Question

已知正方形ABCD的邊長為1，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對角線BD折起，使AC=1，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．
（Ⅰ）若點M是棱AB的中點，求證：OM∥平面ACD；
（Ⅱ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅲ）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中正方形ABCD的邊長為1，AC∩BD=O，M為AB的中點，根據三角形中位線定理，可得OM∥AD，結合線面平行的判定定理，可得OM∥平面ACD；
（II）解△AOC，可得AO⊥CO，由正方形的性質可得AO⊥BD，根據線面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，分別求出平面ABC和平面BCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到
二面角A-BC-D的余弦值．

解答：解：（I）證明：∵在正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，
∴O為BD的中點，
又M為AB的中點，
∴OM∥AD．
又AD?平面ACD，OM?平面ACD，
∴OM∥平面ACD．
證明：（II）在△AOC中，∵AC=1，AO=CO=

2

2

，
∴AC²=AO²+CO²，∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的對角線，
∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O
∴AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，
如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz．
則O(0，0，0)，A(0，0，

2

2

)，C(

2

2

，0，0)，B(0，-

2

2

，0)，D(0，

2

2

，0)，

OA

=(0，0，

2

2

)是平面BCD的一個法向量．

AC

=(

2

2

，0，-

2

2

)，

BC

=(

2

2

，

2

2

，0)，
設平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n

•

BC

=0，

n

•

AC

=0．
即

(x，y，z)•( 2 2 2 2 ，0)=0 (x，y，z)•( 2 2 ，0，- 2 2 )=0

，
所以y=-x，且z=x，令x=1，則y=-1，z=1，
解得

n

=(1，-1，1)．

從而cos?

n

，

OA

＞=

n • OA

| n || OA |

=

3

3

，
二面角A-BC-D的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是證得OM∥AD，（2）的關鍵是證得AO⊥CO，AO⊥BD，（3）的關鍵是分別求出平面ABC和平面BCD的法向量．