【題目】已知函數
，其中
．
（1）討論函數
的單調性；
（2）若函數存在兩個極值點
，
（其中
），且
的取值范圍為
，求
的取值范圍．
【答案】（1）分類討論，見解析（2）
【解析】
（1）對函數進行求導，將導數的正負轉化成研究一元二次函數的根的分布問題；
（2）利用韋達定理得到
，
，將
轉化成關于
的表達式，再利用換元法令
，從而構造函數
，根據函數的值域可得自變量
的范圍，進而得到
的取值范圍.
解：（1）
．
令
，則
，
①當
或
，即
時，
恒成立，所以
在
上單調遞增．
②當
，即
時，
由
，得
或
；
由
，得
，
∴在
和
上單調遞增，在
上單調遞減．
綜上所述，當時，在上單調遞增
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減
（2）由（1）得，當時，有兩極值點
，
（其中
）．
由（1）得，為
的兩根，所以，．
所以
．
令，則
，
因為
，
所以
在
上單調遞減，而
，
，
所以
，
又
，易知
在
上單調遞增，
所以
，
所以實數的取值范圍為
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】紅鈴蟲（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產卵數與溫度有關.現收集到一只紅鈴蟲的產卵數y（個）和溫度x（℃）的8組觀測數據，制成圖1所示的散點圖.現用兩種模型①
，②
分別進行擬合，由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析，進一步得到圖2所示的殘差圖.
根據收集到的數據，計算得到如下值：
|
|
|
|
|
|
|
25 | 2.89 | 646 | 168 | 422688 | 48.48 | 70308 |
表中
；
；
；
；
（1）根據殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；
（2）根據（1）中所選擇的模型，求出y關于x的回歸方程（系數精確到0.01），并求溫度為34℃時，產卵數y的預報值.
（參考數據：
，
，
，
）
附：對于一組數據
，
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了調查某社區居民每天參加健身的時間，某機構在該社區隨機采訪男性、女性各50名，其中每人每天的健身時間不少于1小時稱為“健身族”，否則稱其為"非健身族”，調查結果如下：
健身族 | 非健身族 | 合計 | |
男性 | 40 | 10 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合計 | 70 | 30 | 100 |
（1）若居民每人每天的平均健身時間不低于70分鐘，則稱該社區為“健身社區”. 已知被隨機采訪的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分時間分別是1.2小時，0.8小時，1.5小時，0.7小時，試估計該社區可否稱為“健身社區”？
（2）根據以上數據，能否在犯錯誤的概率不超過5%的情況下認為“健身族”與“性別”有關？
參考公式： 
，其中
.
參考數據：
| 0. 50 | 0. 40 | 0. 25 | 0. 05 | 0. 025 | 0. 010 |
| 0. 455 | 0. 708 | 1. 321 | 3. 840 | 5. 024 | 6. 635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知橢圓
過點
，
，
是兩個焦點．以橢圓
的上頂點
為圓心作半徑為
的圓，
（1）求橢圓的方程；
（2）存在過原點的直線
，與圓分別交于
，
兩點，與橢圓分別交于
，
兩點（點在線段
上），使得
，求圓半徑
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】動點
與定點
的距離和該動點到直線
的距離的比是常數
．
（1）求動點
軌跡方程
；
（2）已知點
，問在
軸上是否存在一點
，使得過點的任一條斜率不為0的弦交曲線于
兩點，都有
．
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