Question

已知(

x

-

2

x2

)n（n∈N^*）的展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是10：1．
（1）求展開式中各項系數的和；     
（2）求展開式中含x

3

2

的項．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出二項展開式的通項，求出第五項的系數與第三項的系數，根據已知條件列出方程，求出n的值，將n的值代入二項式，給二項式中的x賦值1，求出展開式中各項系數的和．
（2）令二項展開式的通項中的x的指數為

3

2

，求出r的值，將r的值代入通項求出展開式中含x

3

2

的項．

解答：解：由題意知，展開式的通項為
Tr+1=

C

r n

(-2)rx

n-5r

2

則第五項系數為C_n⁴•（-2）⁴，第三項的系數為C_n²•（-2）²
則有

16 C 4 n

4 C 2 n

=

10

1

，化簡，得n²-5n-24=0
解得n=8或n=-3（舍去）        
（1）令x=1，得各項系數的和為（1-2）⁸=1    
（2）令

8-r

2

-2r=

3

2

，則r=1
故展開式中含x

3

2

的項為T2=-16x

3

2

點評：求二項展開式的特定項問題一般借助的工具是二項展開式的通項公式；求二項展開式的各項系數和問題，一般通過觀察，通過賦值的方法來解決．