Question

已知(

x

-

2

x2

)n(n∈N*)的展開式中第五項的系數與第三項的系數比是10：1．
（1）求：含

1

x

的項的系數；   （2）求：展開式中所有項系數的絕對值之和．

Answer 1

分析：由題意可得C_n⁴（-2）⁴=10C_n²（-2）²，可得n=8，從而可得展開式的通項為T_r+1=

C

r 8

(-2)rx

8-5r

2

（1）令

8-5r

2

=-1，可求r，代入展開式中可求含

1

x

的項的系數
（2）可求(

x

+

2

x2

)8的展開式中所有項的系數和．在(

x

+

2

x2

)8中令x=1可求

解答：解：(

x

-

2

x2

)n的展開式的通項為

C

r n

(-2)rx

n-r

2

x-2r，
∵第五項的系數為C_n⁴（-2）⁴，第三項的系數為C_n²（-2）²，
∴C_n⁴（-2）⁴=10C_n²（-2）²，化簡得（n-2）（n-3）=30，解得：n=8，
∴展開式的通項為T_r+1=

C

r 8

(-2)rx

8-5r

2

（1）令

8-5r

2

=-1，解得：r=2，∴展開式中含

1

x

的項的系數為：C₈²（-2）²=112
（2）∵(

x

-

2

x2

)8的展開式中所有項系數的絕對值之和，即為(

x

+

2

x2

)8的展開式中所有項的系數和．
∴在(

x

+

2

x2

)8中令x=1得3⁸，故(

x

-

2

x2

)8的展開式中所有項系數的絕對值之和為3⁸．

點評：本題主要考查了利用二項展開式的通項求解展開式的指定的項的系數，及利用賦值法求解二項展開式的各項系數之和，注意本題（2）中的轉化．