Question

如圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點的切線交DC的延長線于P，PC=ED=1，PA=2．
（Ⅰ）求AC的長；
（Ⅱ）求證：BE=EF．

Answer 1

分析：（1）由PA是圓的切線結合切割線定理得比例關系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，從而求得AC的長；
（2）欲求證：“BE=EF”，可先分別求出它們的值，比較即可，求解時可結合圓中相交弦的乘積關系．

解答：解：（I）∵PA²=PC•PD，PA=2，PC=1，
∴PD=4，
又∵PC=ED=1，∴CE=2，
∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，
∴△PAC∽△CBA，∴

PC

AC

=

AC

AB

，
∴AC²=PC•AB=2，∴AC=

2

（5分）
（II）∵BE=AC=

2

，CE=2，而CE•ED=BE•EF，
∴EF=

2•1

2

=

2

，∴EF=BE．（10分）

點評：本題主要考查與圓有關的比例線段、圓中的切割線定理以及相似三角形的知識，屬于基礎題．