Question

定義在R上的偶函數y=f（x）滿足：對任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，則f（9）=

0

．

Answer 1

分析：由題設知f（9）=f（3+6）=f（3）+f（3）=2f（3）．f（3）=f（-3）=f（-9+6）=f（-9）+f（3）=f（9）+f（3）=3f（3），所以f（3）=0，故f（9）=2f（3）=0．

解答：解：∵y=f（x）是R上的偶函數滿足，
對任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，
∴f（9）=f（3+6）=f（3）+f（3）=2f（3）．
∵f（3）=f（-3）=f（-9+6）=f（-9）+f（3）=f（9）+f（3）=3f（3），
∴f（3）=0，
∴f（9）=2f（3）=0．
故答案為：0．

點評：本題考查函數值的求法，解題時要認真審題，注意函數的奇偶性和f（x+6）=f（x）+f（3）的靈活運用，合理地進行等價轉化．