設y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的減函數，則y＝f[g(x)]的增減性與g(x)的增減性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函數，則y＝f[g(x)]的增減性與g(x)的增減性相同．
證明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函數，任取a＜x1＜x2＜b，則有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是減函數得f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在(a，b)上是減函數．若g(x)在(a，b)上是減函數，同理可證f[g(x)]在(a，b)上是增函數． (2) 若g(x)在(a，b)上是增函數，任取a＜x1＜x2＜b，則有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函數，得f[g(x1)]＜f[g(x2)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函數．若g(x)在(a，b)上是減函數，同理可證f[g(x)]在(a，b)上是減函數．
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科目：高中數學 來源： 題型：044
設y＝f（x)是定義在區間[－1，1]上的函數，且滿足條件：
（i)f（－1)＝f（1)＝0；
（ii)對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u)－f（v)|≤|u－v|．
（Ⅰ)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f（x)≤1－x；
（Ⅱ)判斷函數g（x)＝
是否滿足題設條件；
（Ⅲ)在區間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的函數y＝f（x)，且使得對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u)－f（v)|＝|u－v|．
若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源：數學教研室 題型：044
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科目：高中數學 來源：新課標教材全解高中數學人教A版必修1 人教A版 題型：044
設y＝f(x)是定義在區間[－1，1]上的函數，且滿足條件：
①f(－1)＝f(1)＝0；
②對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．
(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；
(2)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1．
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科目：高中數學 來源：成功之路·突破重點線·數學（學生用書） 題型：047
設y＝f(x)是定義在區間[－1，1]上的函數，且滿足條件；
(i)f(－1)＝f(1)＝0；
(ii)對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．
(Ⅰ)證明：對任意的x∈[－1，1]都有x－1≤f(x)≤1－x；
(Ⅱ)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1；
(Ⅲ)在區間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數y＝f(x)，且使得
若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．
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