Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為e=

3

2

，且過點（

3

，

1

2

）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m（k≠0，m＞0）與橢圓交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵e=

3

2

，∴c=

3

2

a，∴b²=a²-c²=

a2

4

，故所求橢圓為：

x2

a2

+

4y2

a2

=1．
又橢圓過點 （

3

，

1

2

），∴

3

a2

+

1

a2

=1，∴a²=4，b²=1，
∴

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為（x₀，y₀）
將直線y=kx+m與

x2

4

+y2=1 聯立得 （1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵△=16（4k²+1-m²）＞0，即 4k²+1-m²＞0 ①，
又x₀=

x1+x2

2

=

-4km

1+4k2

，y₀=

y1+y2

2

=

m

1+4k2

，又點[-1，0]不在橢圓OE上．
依題意有

y0-0

x0-(-1)

=-

1

k

，整理得3km=4k²+1 ②． 由①②可得k²＞

1

5

，
∵m＞0，∴k＞0，∴k＞

5

5

，
設O到直線l的距離為d，
則S_△OPQ=

1

2

•d•|PQ|=

1

2

•

m

1+k2

•

1+k2 • 16(4k2+1-m2)

1+4k2

=

2 (4k2+1)(5k2-1)

9k2

=

2 20+ 1 k2 - 1 k4

9

．
當

1

k2

=

1

2

時，△OPQ 的面積取最大值1，此時k=

2

，m=

3 2

2

，
∴直線方程為 y=

2

x+

3 2

2

．