Question

設P（x，y）為曲線y=|

1

2

x²-1|上的一點，點A的坐標為（0，a）（a＞1）．求|PA|的最小值．

Answer 1

分析：首先畫出曲線y=|

1

2

x²-1|的圖象．根據圖象分-

2

＜x＜

2

，x＜-

2

，或x＞

2

兩種情況討論|PA|的最小值．再通過a的取值．a＞4時，a²-4a＞0，即a-1＞

2a+1

，此時|PA|_min=

2a+1

；當1＜a≤4時，a²-4a≤0，即a-1≤

2a+1

，此時|PA|_min=a-1．從而確定|PA|的最小值．

解答：解：令

1

2

x²-1=0，則
x=±

2

．
∵a＞1
∴如圖可知，
當-

2

＜x＜

2

時，|PA|≥a-1，
當x＜-

2

，或x＞

2

時，
|PA|=

x2+(y-a)2

=

x2+( 1 2 x2-1-a)2

=

1 4 x4-ax2+a2+2a+1

=

( 1 2 x2-a)2+2a+1

≥

2a+1

．
∵（a-1）²-（2a+1）=a²-4a，
∴a＞4時，a²-4a＞0，即a-1＞

2a+1

，
此時|PA|_min=

2a+1

；
當1＜a≤4時，a²-4a≤0，即a-1≤

2a+1

，
此時|PA|_min=a-1．

點評：本題考查數形結合以及分類討論的思想，兩點間的距離公式，不等式的解法及應用等知識的綜合運用．屬于難題．