Question

已知一曲線是與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為

1

2

的點的軌跡．
（1）求此曲線C的方程
（2）設P（x，y）為曲線C上任意一點，求

y

x-2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設點M（x，y）是曲線上的任意一點，欲求出動點M的軌跡方程，只須求出x，y的關系式即可，結合距離的比，用坐標來表示距離，利用兩點間的距離公式化簡即可求得點P的軌跡方程．
（2）利用

y

x-2

的幾何意義，轉化為P（x，y）與定點（2，0）所連直線的斜率，故易求．

解答：解：（1）設曲線C上任意一點為M（x，y），由已知可得

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

兩邊平方并整理得(x+1)2+y2=4即為曲線C的方程
（2）

y

x-2

=

y-0

x-2

表示P(x，y)與定點(2，0)所連直線的斜率
而點P(x，y)在圓(x+1)2+y2=4上運動，易求得

y

x-2

的取值范圍為[-

2 5

5

，

2 5

5

]

點評：本題考查軌跡方程，利用的是直接法，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．