Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個交點；
（2）在（1）的條件下，是否存在m∈R，使得f（m）=-a成立時，f（m+3）為正數，若存在，證明你的結論，若不存在，請說明理由；
（3）若對x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f（x）=[f（x₁）+f（x₂）]有兩個不等實根，證明必有一個根屬于（x₁，x₂）．

Answer 1

解：（1）因為f（1）=0，
所以a+b+c=0，
又因為a＞b＞c，
所以a＞0，且c＜0，
因此ac＜0，
所以△=b²-4ac＞0，
因此f（x）的圖象與x軸有2個交點．
（2）由（1）可知方程f（x）=0有兩個不等的實數根，不妨設為x₁和x₂，
因為f（1）=0，
所以f（x）=0的一根為x₁=1，
因為x₁+x₂=-，x₁x₂=，
所以x₂=--1=，
因為a＞b＞c，a＞0，且c＜0，
所以-2＜x₂＜0．
因為要求f（m）=-a＜0，
所以m∈（x₁，x₂），
因此m∈（-2，1），
則m+3＞1，
因為函數y=f（x）在[1，+∞）上單調遞增；
所以f（m+3）＞f（1）=0成立．
（3）構造函數g（x）=f（x）-[f（x₁）+f（x₂）]，
則g（x₁）=f（x₁）-[f（x₁）+f（x₂）]=[f（x₁）-f（x₂）]，
g（x₂）=f（x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=[f（x₂）-f（x₁）]，
于是g（x₁）g（x₂）=[f（x₁）-f（x₂）][f（x₂）-f（x₁）]
=-[f（x₁）-f（x₂）]²，
因為f（x₁）≠f（x₂），
所以g（x₁）g（x₂）=-[f（x₁）-f（x₂）]²＜0，
所以方程g（x）=0在（x₁，x₂）內有一根，
即方程f（x）=[f（x₁）+f（x₂）]必有一根屬于（x₁，x₂）．
分析：（1）由f（1）=0，得a+b+c=0，根據a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判別式可證；
（2）由條件知方程的一根為1，另一根滿足-2＜x₂＜0．由于f（m）=-a＜0，可知m∈（-2，1），從而m+3＞1，根據函數y=f（x）在[1，+∞）上單調遞增，可知（m+3）＞0成立．
（3）構造函數g（x）=f（x）-[f（x₁）+f（x₂）]，進而證明g（x₁）g（x₂）＜0，所以方程g（x）=0在（x₁，x₂）內有一根，故方程f（x）=[f（x₁）+f（x₂）]必有一根屬于（x₁，x₂）．
點評：本題以二次函數為載體，考查方程根的探求，考查函數值的確定及函數的零點問題，有一定的綜合性．