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已知橢圓的兩個焦點F1(-
3
,0),F2(
3
,0)
,過F1且與坐標軸不平行的直線l1與橢圓相交于M,N兩點,如果△MNF2的周長等于8.
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過點(1,0)的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q,試問在x軸上是否存在定點E(m,0),使
PE
QE
恒為定值?若存在,求出E的坐標及定值;若不存在,請說明理由.
(I)由題意知c=
3
,4a=8,∴a=2,b=1
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2
=1
(II)當直線l的斜率存在時,設其斜率為k,則l的方程為y=k(x-1)
x2
4
+y2=1
y=k(x-1)
消去y得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0
設P(x1,y1),Q(x2,y2
則由韋達定理得x1+x2=
8k2
4k2+1
x1x2=
4k2-4
4k2+1
PE
=(m-x1,-y1)
QE
=(m-x2,-y2)

PE
QE
=(m-x1)(m-x2)+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)
=m2-m
8k2
4k2+1
+
4k2-4
4k2+1
+k2(
4k2-4
4k2+1
-
8k2
4k2+1
+1)

=
(4m2-8m+1)k2+(m2-4)
4k2+1
要使上式為定值須
4m2-8m+1
m2-4
=
4
1
,解得m=
17
8
PE
QE
為定值
33
64
當直線l的斜率不存在時P(1,
3
2
),Q(1,-
3
2
)
E(
17
8
,0)
可得
PE
=(
9
8
,-
3
2
)
QE
=(
9
8
,
3
2
)
PE
QE
=
81
64
-
3
4
=
33
64
綜上所述當E(
17
8
,0)
時,
PE
QE
為定值
33
64
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網定義:由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓C1
x2
4
+y2=1

(1)若橢圓C2
x2
16
+
y2
4
=1
,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱,求實數b的取值范圍?
(3)如圖:直線y=x與兩個“相似橢圓”M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
Mλ
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a>b>0,0<λ<1)
分別交于點A,B和點C,D,試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F(非橢圓頂點),使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形,寫出具體作法.(不必證明)

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年浙江省臺州中學高三(上)第二次統練數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點F1,F2為橢圓的兩個焦點,點O為坐標原點,圓O是以F1,F2為直徑的圓,一條直線與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點A,B.
(1)設b=f(k),求f(k)的表達式;
(2)若,求直線l的方程;
(3)若,求三角形OAB面積的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年浙江省臺州中學(上)第二次統練數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點F1,F2為橢圓的兩個焦點,點O為坐標原點,圓O是以F1,F2為直徑的圓,一條直線與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點A,B.
(1)設b=f(k),求f(k)的表達式;
(2)若,求直線l的方程;
(3)若,求三角形OAB面積的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年上海市浦東新區高三(下)期中數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

定義:由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓
(1)若橢圓,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱,求實數b的取值范圍?
(3)如圖:直線y=x與兩個“相似橢圓”分別交于點A,B和點C,D,試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F(非橢圓頂點),使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形,寫出具體作法.(不必證明)

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科目:高中數學 來源:2011年上海市徐匯區、金山區高考數學二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

定義:由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓
(1)若橢圓,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱,求實數b的取值范圍?
(3)如圖:直線y=x與兩個“相似橢圓”分別交于點A,B和點C,D,試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F(非橢圓頂點),使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形,寫出具體作法.(不必證明)

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