Question

已知直線l與橢圓交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），橢圓上的點到下焦點距離的最大值、最小值分別為，向量=（ax₁，by₁），=（ax₂，by₂），且⊥，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）判斷△AOB的面積是否為定值，如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓上的點到下焦點距離的最大值、最小值分別為，確定橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）先利用向量知識，可得4x₁x₂+y₁y₂=0，再分類討論，求出面積，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知，∴，∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的方程為；
（Ⅱ）△AOB的面積為定值1．
∵，∴a²x₁x₂+b²y₁y₂=0，∴4x₁x₂+y₁y₂=0
①若直線l斜率不存在，設直線l的方程為x=p，則x₁=x₂=p，y₁=-y₂，
∵4x₁x₂+y₁y₂=0，∴
∵，∴
∴S_△AOB==1；
②若直線l斜率存在，設直線l的方程為y=kx+r，代入橢圓方程，可得（4+k²）x²+2krx+r²-4=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵4x₁x₂+y₁y₂=0
∴（4+k²）x₁x₂+kr（x₁+x₂）+r²=0
∴r²-4-+r²=0
∴2r²=4+k²，∴r²≥2
∴△=16（k²-r²+4）＞0
設原點O到直線l的距離為d，則S_△AOB=d•|AB|=×=
綜上可知，△AOB的面積為定值1．
點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查三角形面積的計算，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．