Question

（2012•河西區一模）已知橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率e=

2

2

，F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，過橢圓的左焦點F₁且垂直于長軸的直線交橢圓于M、N兩點，且|MN|=

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于P，Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ．試探究點O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率和通徑的長度，結合a²=b²+c²聯立求出a，b的值，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設出直線方程的斜截式，和橢圓方程聯立后利用根與系數關系求出兩交點橫坐標的和與積，從而求出縱坐標的乘積，利用OP⊥OQ得到x₁x₂+y₁y₂=0，把坐標乘積代入后求得m和k的關系，求出點O到直線l的距離，整體代入后可求得距離為定值，當斜率不存在時，直接求解P和Q的坐標，也能得到距離是相同的定值．

解答：解：（Ⅰ）因為e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

    ①
因為過橢圓的左焦點F₁且垂直于長軸的直線交橢圓于M、N兩點，且|MN|=

2

，
經計算得

2b2

a

=

2

    ②
由a²=b²+c²，解①②得
a=

2

，b=1，c=1，
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）1°當直線l的斜率存在時，
設直線l的方程為y=kx+m，點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，聯立得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0
所以△=8（2k²+1-m²）＞0
x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-2k2

2k2+1

因為OP⊥OQ，所以x₁x₂+y₁y₂=0
即

3m2-2k2-2

2k2+1

=0
所以m2=

2k2+2

3

此時△=

8(4k2+1)

3

＞0滿足條件，
設原點O到直線l的距離為d，
則d=

|m|

k2+1

=

2k2+2 3 k2+1

=

6

3

．
2°當直線l的斜率不存在時，
因為OP⊥OQ，根據橢圓的對稱性，不妨設直線OP、OQ的方程分別為y=x，y=-x，
可得P(

6

3

，

6

3

)，Q(

6

3

，-

6

3

)或P(-

6

3

，-

6

3

)，Q(-

6

3

，

6

3

)，
此時原點O到直線l的距離仍為

6

3

，
綜上可得，原點O到直線l的距離為

6

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和橢圓的位置關系，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了利用二次方程根與系數的關系解決有關問題，考查了學生的計算能力，是難題．