Question

(本小題滿分16分)   如圖,在平面直角坐標系中,已知點為橢圓

的右頂點, 點,點在橢圓上, .

(1)求直線的方程； (2)求直線被過三點的圓截得的弦長；

(3)是否存在分別以為弦的兩個相外切的等圓?若存在,求出這兩個圓的方程；若不

存在,請說明理由

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

 (1)因為,且A(3,0),所以=2,而B,P關于y軸對稱,所以點P

的橫坐標為1,

從而得……………………………3分         

所以直線BD的方程為………………5分

(2)線段BP的垂直平分線方程為x=0,線段AP的垂直平分線方程為,

所以圓C的圓心為(0,－1),且圓C的半徑為……………8分

又圓心(0,－1)到直線BD的距離為,所以直線被圓截得的弦長為

 ……………………………………………10分

(3)假設存在這樣的兩個圓M與圓N,其中PB是圓M的弦,PA是圓N的弦,則點M一定在y軸

上,點N一定在線段PC的垂直平分線上,當圓和圓是兩個相外切的等圓時,

一定有P,M,N在一條直線上,且PM=PN……………………………………12分

設,則,根據在直線上,

解得………………………………………………………………………14分

所以,故存在這樣的兩個圓,且方程分別為

,………………………………16分

【解析】略