Question

給出下列命題：
①

lim

x→ x + 0

f(x)存在，且

lim

x→ x - 0

f(x)也存在，則

lim

x→x0

f(x)存在；
②若

lim

x→x0

(3x+1)=4，則x₀=1；
③若f（x）是偶函數，且

lim

x→-∞

f(x)=a(a為常數），則

lim

x→+∞

f(x)=a；
④若f(x)=

x 1 3 ，(x＜0) 1 x +1 ，(x≥0)

，則

lim

x→∞

f(x)不存在．
其中正確命題的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：

lim

x→ x + 0

f(x)存在，且

lim

x→ x - 0

f(x)也存在，當

lim

x→ x + 0

f(x)≠

lim

x→ x - 0

f(x)時，

lim

x→x0

f(x)不存在；若

lim

x→x0

(3x+1)=4，則3x₀+1=4，x₀=1；若f（x）是偶函數，且

lim

x→-∞

f(x)=a(a為常數），則

lim

x→+∞

f(x)=a；④若f(x)=

x 1 3 (x＜0) 1 x +1 (x≥0)

，則

lim

x→+∞

f(x)=

lim

x→+∞

(

1

x

+1)=1，

lim

x→-∞

f(x)=

lim

x→-∞

x

1

3

=-∞，故

lim

x→∞

f(x)不存在．

解答：解：①

lim

x→ x + 0

f(x)存在，且

lim

x→ x - 0

f(x)也存在，
當

lim

x→ x + 0

f(x)=

lim

x→ x - 0

f(x)時，

lim

x→x0

f(x)存在；
當

lim

x→ x + 0

f(x)≠

lim

x→ x - 0

f(x)時，

lim

x→x0

f(x)不存在．
故①不成立；
②若

lim

x→x0

(3x+1)=4，則3x₀+1=4，x₀=1，
故②成立；
③若f（x）是偶函數，且

lim

x→-∞

f(x)=a(a為常數），則

lim

x→+∞

f(x)=a，
故③成立；
④若f(x)=

x 1 3 (x＜0) 1 x +1 (x≥0)

，
則

lim

x→+∞

f(x)=

lim

x→+∞

(

1

x

+1)=1，

lim

x→-∞

f(x)=

lim

x→-∞

x

1

3

=-∞，
∴

lim

x→∞

f(x)不存在，
故④成立．
故答案為：②③④．

點評：本題考查極限的概念和應用，是基礎題．解題時要認真審題，熟練掌握極限的基本概念和性質是解題的關鍵．