Question

在平面直角坐標系中，已知點P（1，-1），過點P作拋物線T₀：y=x²的切線，其切點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求x₁與x₂的值；
（2）若以點P為圓心的圓與直線MN相切，求圓的面積．

Answer 1

分析：（1）由y=x²先求出y′=2x．再由直線PM與曲線T₀相切，且過點P（1，-1），得到 x1=

2- 4+4

2

=1-

2

，或 x1=1+

2

．同理可得 x2=1-

2

，或 x2=1+

2

，然后由x₁＜x₂知 x1=1-

2

，x2=1+

2

．
（2）由題意知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，則直線MN的方程為：2x-y+1=0．再由點P到直線MN的距離即為圓E的半徑，從而可求出圓E的面積．

解答：解：（1）由y=x²可得，y′=2x．
∵直線PM與曲線T₀相切，且過點P（1，-1），
∴2x1=

x 2 1 +1

x1-1

，即x₁²-2x₁-1=0，
∴x1=

2- 4+4

2

=1-

2

，或 x1=1+

2

，
同理可得：x2=1-

2

，或 x2=1+

2

∵x₁＜x₂，∴x1=1-

2

，x2=1+

2

．
（2）由（1）知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，
則直線MN的斜率 k=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 - x 2 2

x1-x2

=x1+x2，
∴直線M的方程為：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），又y₁=x₁²，
∴y-x₁²=（x₁+x₂）x-x₁²-x₁x₂，即2x-y+1=0．
∵點P到直線MN的距離即為圓E的半徑，即 r=

|2+1+1|

4+1

=

4

5

，
故圓E的面積為 S=πr2=

16π

5

．

點評：本題以直線與拋物線的位置關系為載體，考查直線與拋物線相切，考查點線距離公式，解題的關鍵是合理運用導數求切線方程