Question

【題目】已知函數，．

(1)若函數是奇函數，求實數的值；

(2)在(1)的條件下，判斷函數與函數的圖象公共點個數，并說明理由；

(3)當時，函數的圖象始終在函數的圖象上方，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 函數與函數的圖象有2個公共點；說明見解析.

(3).

【解析】分析：（1）由題意可得，解出；

（2）要求方程解的個數，即求方程在定義域上的解的個數，令，利用零點存在定理判斷即可；

（3）要使時，函數的圖象始終在函數的圖象的上方，

必須使在上恒成立，令，則，上式整理得在恒成立，分類討論即可.

詳解：（1）因為為奇函數，所以對于定義域內任意，都有，

即，

，

顯然，由于奇函數定義域關于原點對稱，所以必有.

上面等式左右兩邊同時乘以得

，化簡得

，.

上式對定義域內任意恒成立，所以必有，

解得.

（2）由（1）知，所以，即，

由得或，

所以函數定義域.

由題意，要求方程解的個數，即求方程

在定義域上的解的個數.

令，顯然在區間和均單調遞增，

又，

且，.

所以函數在區間和上各有一個零點，

即方程在定義域上有2個解，

所以函數與函數的圖象有2個公共點.

（附注：函數與在定義域上的大致圖象如圖所示）

（3）要使時，函數的圖象始終在函數的圖象的上方，

必須使在上恒成立，

令，則，上式整理得在恒成立.

方法一：令，.

① 當，即時，在上單調遞增，

所以，恒成立；

② 當，即時，在上單調遞減，

只需，解得與矛盾.

③ 當，即時，

在上單調遞減，在上單調遞增，

所以由，解得，

又，所以

綜合①②③得的取值范圍是.

方法二：因為在恒成立. 即，

又，所以得在恒成立

令，則，且，

所以，

由基本不等式可知（當且僅當時，等號成立.）

即，

所以,

所以的取值范圍是.